La introducción de los números complejos.
Aunque en muchos casos se pierda de vista en la enseñanza de las matemáticas en colegios e institutos, la aritmética y la geometría son disciplinas íntimamente relacionadas. Un ejemplo muy claro de esta relación, y de la tendencia a obviarla, lo encontramos en las potencias y raíces. Que n², donde “n” es un número cualquiera, se lea “ene al cuadrado” no es una casualidad o un capricho, como tampoco lo es que hablemos del cálculo de “raíces cuadradas”. La potencia representa aritméticamente la operación de hallar, dado un segmento de longitud “n”, el área del cuadrado que puede formar. Y la raíz cuadrada representa aritméticamente la operación de hallar, dado un cuadrado de área “x”, cuál es su lado. Ocurre algo análogo con n³, “ene elevado al cubo”, y con la raíz cúbica, lo único que en este caso el objeto geométrico de referencia no es una figura plana (cuadrado) sino un prisma (cubo).
Ahora bien, lo cierto es que efectivamente las potencias y las raíces pueden funcionar en el estudio de la aritmética y el álgebra con independencia relativa de su significación geométrica. Esa posibilidad conduce, en el Renacimiento, a la formulación de problemas algebraicos cuya solución es la raíz cuadrada de un número negativo. Solución que no tiene sentido desde un punto de vista geométrico, pues no pueden existir áreas negativas. Este aparente sinsentido es el que explica la consolidación de la denominación que escoge Descartes para esta clase de números, que él llama “imaginarios”.
Este es quizás el más significativo de entre los problemas a los que se enfrenta la Matemática entre los siglos XVI y XVII. Estos problemas tensionan las ideas predominantes hasta entonces sobre las relaciones de correspondencia entre geometría y aritmética y el desarrollo de nuevas estrategias para resolverlos marca el nacimiento de la Matemática moderna. Una de esas estrategias es la reformulación analítica de la relación entre operaciones algebraicas y representaciones geométricas, dando pie a la concepción tanto de la recta numérica como del plano cartesiano.
Al tratar el problema de las raíces cuadradas de números negativos sobre un plano cartesiano, se constata nuevamente su irrepresentabilidad, pero al mismo tiempo emerge la posibilidad de “imaginar” dónde se encuentran: en un plano que, por decirlo así, no es paralelo al folio y se representa explícitamente sobre este, sino que es perpendicular, y se proyecta entre el folio y el sujeto que calcula. Dada la imposibilidad de trabajar directamente sobre ese plano, lo que se puede hacer es “plegarlo” sobre el folio, modificando el plano cartesiano para que el eje de abscisas (eje x) represente los números reales y el eje de ordenadas (eje y) represente los números imaginarios.
Este plano cartesiano modificado recibe la denominación de plano complejo, que es la clase de plano que se utiliza para representar un espacio de Hilbert, el tipo de espacio matemático que cumple, en la mecánica cuántica, funciones análogas a las del espacio de fase en la mecánica clásica (ver entrega anterior). Este pequeño excurso por la historia de las Matemáticas permite explicar, aunque sea de forma tentativa e imperfecta, por qué la mecánica cuántica necesita recurrir al plano complejo1. Lo veremos en la próxima entrega.
Referencias
1 Se recomienda, como complemento de la lectura, visionar el vídeo “Cómo se inventaron los números imaginarios” del canal de YouTube Veritasium: <https://www.youtube.com/watch?v=VN7nipynE0c> [Última consulta: 05/07/2022, 10:25].
