Fourier y las transformaciones entre lo analógico, lo digital y lo biológico
Pensar es olvidar diferencias, es generalizar, abstraer.
Jorge Luis Borges, “Funes el memorioso” (1942)
Se apagan las luces. Acto seguido, comienza la loca sucesión de imágenes, 24 por segundo. Imperceptiblemente, se van acumulando unas sobre otras para formar un “continuum”, una historia, una “fábula”. La película se reproduce, viaja y se refleja (literalmente). Y, en cada proyección, es a su vez reproducida, transformada y reflejada por cada uno de los deleitados (o no tanto) espectadores; incorporándola de alguna forma al complejo entramado de sus recuerdos y experiencias, sumándola al plástico cuerpo de lo que llamamos “conocimiento”. Pero, ¿cómo llega la película a transformarse en “conocimiento”? Y antes, ¿cómo llega la película hasta nosotras?
No hace tanto tiempo, los polvorosos caminos estaban surcados por nobles Prometeos que portaban en sus grupas kilométricas fuentes de fantasía, pasión, sueño y conocimiento; permitiendo a los humildes habitantes de la regiones más dispares de la tierra -realmente no tan dispares, desgraciadamente- surcar los mares y… despertar en un Estados Unidos imaginado (seamos realistas, el destino del viaje estaba, en general, bastante limitado). Pero no es esta la historia que queremos contar en esta bitácora. Lo que nos interesa no es la longitud recorrida por nuestros cuadrúpedos amigos, ni la longitud atravesada por aquellos intrépidos rollos que surcaban mares y puertos en busca de alucinados ojos; sino la longitud de la fuente del conocimiento mismo. Y la respuesta es, casi como en el chiste [1], tres kilómetros [2]. Esa era la “duración” aproximada de una película estándar de una hora y media. Hace tiempo ya que esta forma de distribución de los filmes ha sido abandonada en la mayor parte de los lugares de difusión. Los tiempos de épica y aventura han quedado atrás. Ahora basta con pulsar un botón para que la película “viaje” instantáneamente de un lugar indeterminado y ubicuo hasta nuestros ojos. Los filmes parecen no ocupar espacio, ser etéreos, no “pesar”. A nadie se le escapa que la artífice de esta nigromancia es nada más y nada menos que la posibilidad de comprimir “kilómetros” de metraje en apenas unos pocos bits (del orden de 40 GBs en el peor de los casos, 2 GBs en Full HD, por cada hora de metraje) [3]. Esta revolucionaria técnica se la debemos, en parte, a Fourier.
Allá por la primera mitad del siglo XIX, este matemático francés propuso una nueva forma de entender los fenómenos del mundo. En lugar de estudiar cómo se mueven los objetos en función del tiempo, estudió está dinámica en el espectro de frecuencias; demostrando que cualquier función continua se puede expresar como una suma infinita de senos y cosenos. Es decir, en vez de describir la oscilación de un punto en una cuerda en base a cómo sube y baja en el eje y (como en la imagen), es suficiente con indicar la frecuencia a la que oscila y la posición en la que estaba al inicio (por ejemplo, para describir la primera señal basta con decir que el punto de la cuerda parte del reposos, y=0 cuando t=0, y se desplaza con frecuencia f=10 Hz). Dos valores son suficientes para describir una cantidad potencialmente infinita de puntos. Funciones más complejas estarán formadas por la superposición de varios ondas de distintas frecuencias (ver más abajo). En la práctica, no se trabaja con funciones continuas, sino con una serie de muestras tomadas en intervalos equiespaciados en el tiempo (como sucede en una película, que está formada por fotografías tomadas cada 1/24 s). Por tanto, no habrá infinitas frecuencias posibles, sino que habrá tantas como puntos en total tenga la muestra [4] (en una película de una hora y media habría 24*60*90/2~64800 frecuencias posibles). La gran potencia de la Transformada de Fourier, está en el hecho de que para la mayor parte de las frecuencias, su contribución sobre la señal total es despreciable o nula, como sucede en la imagen que reproducimos más abajo. Esto permite reducir enormemente la cantidad de datos necesarios para almacenar un film: basta con guardar la información relativa a las frecuencias significativas y realizar la transformada de Fourier inversa, que lleva del espectro de frecuencias al espectro temporal al que estamos acostumbradas.
Quizá pueda parecer un gran salto pasar del espectro de frecuencias de una cuerda que oscila al de una película; sin embargo, es bastante intuitivo. Estamos bastante familiarizadas con la idea del sonido como una onda escalar ocasionada por la vibración de las moléculas del aire, que percibimos a través de la vibración mecánica del tímpano. Por tanto, podemos pensar en el sonido como un sistema muy similar a una cuerda. El problema surge al considerar el elemento visual. Una fotografía es un instante de tiempo congelado, petrificado, sin esperanza de evolución temporal. Pese a ello, sigue siendo posible considerar el espectro de frecuencias. En una imagen en blanco y negro, las coordenadas x e y juegan el papel del tiempo, mientras que el nivel de oscuridad se puede identificar con la posición del punto en la cuerda. (En este caso, estaríamos realizando una transformada de Fourier de dos dimensiones.) El color en los dispositivos digitales se genera a partir de combinar píxeles de color rojo, verde o azul (RGB), por lo que se tiene realmente una superposición de tres imágenes, una por color básico. Cuando estas imágenes se colocan sucesivamente una detrás de otra, el tiempo surge de forma natural como tercera dimensión sobre la cual realizar la transformada.
De este modo, la transformada de Fourier permite llevar la película a un espacio completamente diferente (el de la frecuencia), y descartar una gran parte de los datos originales, sin perder apenas información relevante. Esto es lo que nos permite reproducir una película desde nuestros dispositivos.
Las ondas sonoras y lumínicas (electromagnéticas) viajan por el aire e impactan con “nosostras”, haciendo que “vibremos”, que “estemos en la misma onda”, que “cada átomo de nuestro cuerpo vibre en sintonía con la película”… Estas expresiones no pueden ser más acertadas. Nuestra forma de aprehender el mundo es, en buena medida, resonar con él. Empezando por los propios órganos receptores (vibración del tímpano, vibración de las células receptoras de la piel, oscilaciones electromagnéticas en los pulsos nerviosos de las neuronas de la córnea…), la oscilación sincronizada se traslada a entidades más complejas. Hay numerosos estudios que han comprobado como una elevada cantidad de fluctuaciones neurofisiológicas (ondas electromagnéticas medidas por encefalograma o variaciones en la oxigenización de áreas del cerebro que se miden con resonancia magnética), que van de los milisegundos a varios minutos, se sincronizan entre personas distintas el ver la misma película o escuchar la misma historia. Sin embargo, el cerebro no es el único órgano que participa en el procesamiento (como ya sabemos de la serie de bitácoras sobre la relación intestino-cerebro). Por ejemplo, también se ha en encontrado evidencias que apuntan a una importante participación de la sincronización del pulso cardíaco en el proceso de percepción [5]. Incluso la cantidad de ciertas hormonas en la sangre como la serotonina o la dopamina tiene una correspondencia con las frecuencias de los estímulos externos. Así mismo, las oscilaciones también operan en escalas menores, como son los tejidos, las células e incluso los propios átomos. En suma, no es descabellado aventurar que los procesadores biológicos somos resultado de la superposición de una enorme cantidad de frecuencias operando a distintas escalas, en continua interacción con las “frecuencias” del medio “exterior”.
De esta forma, nuestros objetos de comprensión pueden ser analizados como el resultado de la combinación, la superposición, el acoplamiento selectivo, de las frecuencias que nos componen (en las que nos descomponemos) con una parte del conjunto, potencialmente infinito, de señales que nos llegan. Bajo este punto de vista, la “película” sobre la que realizamos el acto de comprensión no es esa serie de ondas electromagnéticas y sonoras que las computadoras digitales pueden comprimir fácilmente, sino algo sustancialmente más complejo.
Aunque nuestra forma de procesar información para relacionarnos con nuestro entorno puede ser descrita en estos términos, también parece claro que nuestra forma de “memorizar” no consiste en transformar fenómenos temporales a su espectro de frecuencias, eliminando las menos significativas. Pese a ello, podemos preguntarnos en qué se parece nuestra forma de almacenar información a la de una computadora. ¿Aplican de algún modo nuestros órganos una transformada de Fourier?
Notas
[1] “El chiste”, oído en Cuba durante el Período Especial, parte de la premisa de un superordenador que responde “37 kilómetros” cuando se le pregunta “¿cuánto queda para la consecución del socialismo?”. La gracia del chiste, que no destripamos, va ligada a la razón por la que el ordenador expresa la distancia no en tiempo sino en longitud.
[2] “Cuando las películas se medían en metros en vez de en minutos”. Cooking Ideas, 11/07/2016, <https://www.cookingideas.es/peliculas-metros-20160711.html> [Última consulta: 02/06/2023, 18:25].
[3] John Tkaczewski, “How Big Are Movie Files in 2022?”, FileCatalyst, 26/01/2022, <https://www.filecatalyst.com/blog/how-big-are-movie-files/> [Última consulta: 02/06/2023, 18:25].
[4] En realidad, habrá aproximadamente la mitad de frecuencias posibles. El periodo (que es la inversa de la frecuencia) más pequeño que se puede resolver es el intervalo de tiempo entre dos puntos consecutivos. Por su parte, el mayor periodo posible es la duración total de la señal. Para saber más sobre la Transformada de Fourier Discreta y, en concreto, sobre la Transformada de Fourier Rápida (FFT) y el curioso contexto de su descubrimiento (o, más bien, redescubrimiento), se recomienda el visionado del vídeo “The Remarkable Story Behind The Most Important Algorithm Of All Time” del canal Veritasium <https://www.youtube.com/watch?v=nmgFG7PUHfo> [Última consulta: 02/06/2023, 18:35].
[5] Pauline Pérez et al.. Conscious processing of narrative stimuli synchronizes heart rate between individuals. Cell Rep. 2021 Sep 14;36(11):109692. doi: 10.1016/j.celrep.2021.109692. PMID: 34525363.
