El espacio de Hilbert y la gravedad.
La “irrazonable eficacia de las matemáticas”, y por extensión del instrumental técnico, conforma un centro de masas con una gran capacidad tractora. Por eso no es raro que incluso quienes apostamos por el “discute y replantea” ante el “calla y calcula” (ver entrega anterior) acabemos deslizándonos por la pendiente del hábito general.
Seguramente eso es lo que nos ocurrió al sintetizar los resultados de más de un año de trabajo de estudio de un oscilador en tres artículos de momento publicados como borradores en arXiv1. Al fin y al cabo, las revistas científicas a las que queríamos dirigirnos priman el cálculo silencioso frente al replanteamiento dialéctico, y por tanto no era esa serie de artículos el contexto para reflexionar sobre las implicaciones teóricas de nuestras estrategias de cálculo. De ahí la importancia que tienen, como contrapeso, nuestro modelo de organización de la actividad investigadora y estas bitácoras como formato de publicación.
La lectura de las páginas que La nueva mente del Emperador dedica al uso del espacio de Hilbert en la mecánica cuántica y a la importancia de la ortogonalidad nos ha invitado a volver al tercero de esos artículos y reconocer en sus resultados una trascendencia que pasó desapercibida cuando los redactamos. Trascendencia sobre la que queremos reflexionar de forma abierta y compartida, y por eso le dedicamos esta serie de bitácoras.
Los tres artículos citados están dedicados al estudio del comportamiento de un sistema oscilatorio compuesto por un péndulo sobre una base inclinada y con ruedas que está conectado a un balancín en cuyo extremo opuesto hay una masa variable que se va reajustando para mantener la condición de equilibrio.
En el tercero de estos artículos se representan las variables del sistema sobre un plano complejo y se calcula el producto escalar y el producto vectorial de las fuerzas que operan en él. Dada la asociación, en Física, entre plano complejo y mecánica cuántica, en principio carece de sentido aplicar dicha herramienta matemática al estudio de un sistema clásico como el que se describe en estos artículos.
Sin embargo, como se explica en el artículo, el recurso al plano complejo es una necesidad derivada de las propiedades del propio oscilador, para cuyo estudio no basta un sistema de coordenadas esféricas, pues bajo este habría cierta información que no podría ser aprehendida.
Para poder representar las variables del oscilador en el plano complejo fue necesario superponer dos planos bidimensionales con un eje imaginario común. Como se indica en el artículo, es un procedimiento para el que no encontramos precedentes bibliográficos, pero que sí guarda una analogía significativa con la importancia de la ortogonalidad en el caso de la aplicación del plano complejo a la mecánica cuántica.
En una entrega anterior se explicó que solo pueden aparecer como estados macro aquellas amplitudes de estado ortogonales entre sí. En el caso de nuestro estudio es la ortogonalidad de los planos superpuestos la que permite abarcar todos los grados de libertad del sistema oscilatorio.
El cálculo del producto vectorial revela que el desplazamiento hacia adelante y hacia atrás que experimenta el oscilador en el eje z coincide con la permutación de los valores imaginarios y reales del sistema: “En un primer momento, no hay ninguna magnitud real en la dirección del eje z, pero una vez que el péndulo se pone en movimiento el eje z pasa a ser el único en el que aparece una magnitud real. Las fuerzas que operan en el sistema pueden dar pie a un desplazamiento solo cuando su componente se proyecta en esa dirección”.
Por otra parte, el cálculo del producto escalar muestra que, en realidad, el valor angular de la plataforma inclinada para el cual se produce el desplazamiento observable en el eje z (30º) no es el único punto significativo de la oscilación: existe otro máximo a 150º y un mínimo a 270º, si bien estos no son observables en las condiciones contextuales de un problema mecánico como el descrito.
En definitiva, el estudio está poniendo de manifiesto que un sistema mecánico clásico puede estar procesando más información que aquella que se explicita en un ejercicio observacional realizado con utillajes convencionalmente considerados suficientes. Información que, en cambio, se puede captar y hacer explícita si se aplican herramientas matemáticas complementarias con la capacidad potencial de aprehender información “oculta”, pero que convencionalmente solo tienen aplicabilidad en el estudio de sistemas cuánticos.
Dicho de otro modo, se está trabajando con un sistema clásico que manifiesta, a su escala, peculiaridades de comportamiento convencionalmente circunscritas al nivel cuántico. Y consiguientemente se está invitando a pensar que la relación entre lo clásico y lo cuántico, entre la relatividad y el modelo estándar, pueda ser de carácter distinto al convencionalmente intuido.
La cuestión clave para poder replantear esa relación es la mejor determinación de la información como magnitud física y de cómo la escala condiciona su procesamiento, abriendo quizás la posibilidad de una continuidad entre lo inmensamente grande y lo extraordinariamente pequeño, desde los agujeros negros hasta los entrelazamientos cuánticos2.
Con esa idea entre manos, las nuestras y las vuestras, nos despedimos por ahora para volver a discutir, replantear y, sí, también calcular. ¡Seguimos!
Referencias
1 Los tres artículos son:
- “Energy implications of a load depending on geometrical configurations in an oscillator”, arXiv, 2111.10735
- “Two-dimensional array for operating an oscillator in Euclidean space R3, as a power multiplier”, arXiv, 2112.13587
- “Hilbert space representation of binary operations on a power-multiplying oscillator”, arXiv, 2201.06349
2 Estamos haciendo una referencia velada a la conjetura ER = EPR. Se puede consultar el siguiente vídeo del IFT (Instituto de Física Teórica) para una introducción muy accesible a la misma.
